Regneregler for differentiation

Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

Her er nogle regneregler for differentiation. Det forudsættes at alle funktioner er differentiable og dermed kontinuerte for den givne definitionsmængde:

• ${\displaystyle y(x)=k}$, hvor ${\displaystyle k}$ er en konstant, har den afledede ${\displaystyle y'(x)=0}$
• (1): ${\displaystyle y(x)=x\cdot k}$, hvor ${\displaystyle k}$ er en konstant, har den afledede ${\displaystyle y'(x)=k}$
• ${\displaystyle y(x)=k\cdot x^{n}}$ har den afledede ${\displaystyle y'(x)=k\cdot n\cdot x^{n-1}}$, og heraf
• ${\displaystyle y(x)={\frac {1}{x}}}$ har den afledede ${\displaystyle y'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}$, undtagen for x=0

Funktioner der er sammensatte funktioner samt funktioner der er summen, differensen, produktet eller kvotienten af to differentiable funktioner er selv differentiable (med visse, åbenlyse begrænsninger i definitionsmængderne). Differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:

• ${\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))}$ (kædereglen)
• (2): ${\displaystyle (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)}$ (sumreglen)
• ${\displaystyle (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)}$ (differensreglen)
• ${\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)}$ (produktreglen)
• ${\displaystyle \left({\frac {1}{g}}\right)'(x)=-{\frac {g'(x)}{(g(x))^{2}}}}$, undersøges for g(x)=0
• ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'(x)={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^{2}}}=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot (-{\frac {g'(x)}{(g(x))^{2}}})}$, undersøges for g(x)=0 (følger af ${\displaystyle (f\cdot h)'(x)=f'(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot h'(x)}$ og ${\displaystyle \left({\frac {1}{g}}\right)'(x)=-{\frac {g'(x)}{(g(x))^{2}}}}$)

• Differentiation er linear. (følger af (1) og (2) )

• Sinus-funktionen ${\displaystyle \sin(x)}$ har differentialkvotienten ${\displaystyle \sin '(x)=\cos x}$
• Cosinus-funktionen ${\displaystyle \cos(x)}$ har differentialkvotienten ${\displaystyle \cos '(x)=-\sin x}$
• Tangens, ${\displaystyle \tan(x)}$, har differentialkvotienten ${\displaystyle \tan '(x)=1+\tan ^{2}(x)}$
• Den naturlige eksponentialfunktion, ${\displaystyle e^{x}}$, er pr. definition lig med sin differentialkvotient. Dvs. at konstanten e er defineret til at være det reelle tal som opfylder ligningen ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$.
• Eksponentialfunktionen ${\displaystyle y(x)=a^{x}}$ hvor ${\displaystyle a}$ er en konstant, har differentialkvotient ${\displaystyle y'(x)=\ln(a)a^{x}}$, hvor ${\displaystyle \ln }$ er den naturlige logaritmefunktion
• Den naturlige logaritme, ${\displaystyle \ln(x)}$, har differentialkvotienten ${\displaystyle \ln '(x)={\frac {1}{x}}}$